#05 쉽지 않은 연속방정식 (1)

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#04 쉽게 알아보는 캐리어 생성, 재결합

 #04 마지막에 언급했던 캐리어의 변화율을 나타내는 공식 연속방정식을 완성시켜보겠습니다. 좀 복잡하기도하고 워낙 변수들도 많이 들어가서 최대한 쉽게 써본다해도 쉽게 써지지는 않을 것 같습니다..

 

우선 R-G, drift, diffusion 말고 외부자극에 의한 요소들도 알아보겠습니다. 대표적으로 빛에 의한 generation을 꼽을 수 있습니다. 바로 공식부터 보겠습니다.

 

 

 

 반도체에 빛을 쏘이게 되면 에너지를 받고 generation이 발생하게 됩니다. 가운데 항은 photo generation rate입니다. 빛의 관통 길이, 파장을 변수로 가지고 있습니다. 오른쪽 항을 설명드리면, 알파는 흡수 계수입니다. 반도체 물질에 특정 파장의 빛을 쏘게 되면, 반도체 표면에서는 generation이 활발하게 일어나겠죠. 하지만 빛은 점점 반도체에 에너지를 주면서 일정 거리 이상 반도체 속을 관통하다가 사라지게 됩니다. 그러면 반도체 안쪽으로 (x가 커질 때) 들어가면 갈수록 generation rate는 점점 낮아지게 되겠죠 그 것을 나타내는 공식입니다. GL0은 x가 0일 때의 photo generation rate입니다.

 

 

 그렇다면 recombination 과 generation은 어떤 식으로 나타낼 수 있을까요? 특정 상황을 가정해서 설명드리겠습니다.  indirect인 Si 반도체에 도너를 소량 도핑한 상황으로 말씀 드리겠습니다. 그리고 이 반도체에 pertubation을 주고 가만히 히 두었을 때 어떤 요소가 recombination rate에 영향을 줄까요?

 

 처음에 Si에 10^14/cm^3만큼 Nd를 도핑한 반도체가 있다고 가정해보겠습니다. (앞으로 p가 평소에 우리가 생각하는 p가 아닙니다. 지금까지 다룬 공식들은 대부분 외부의 전기장 같은 자극이 없는 equillibrium상태에서의 식이었습니다. 그 때 다뤘던 n과 p는 지금부터 n0, p0로 두고 생각하겠습니다. 그리고 non-equillibrim 상태에서의 캐리어의 수는 n, p로 두고 그 변화량을 Δp, Δn라고 지금부터 표현하겠습니다.) 

 

 n0는 그러면 10^14/cm^3이고, n0*p0 = ni^2이므로, p0= 10^6/cm^3 입니다. (Si에서 ni = 10^20/cm^3) pertubation에 의해 generation이 발생해서 Δp, Δn가 각각 10^9/cm^3이 발생했다고 했을 때 n0의 값에 비해 Δn의 값이 상당히 작으므로 n=n0+Δn=n0라고 볼 수 있습니다. 반면에 p0의 값은 Δp보다 훨씬 작으므로 p=p0+Δp=Δp라고 생각해도 지장이 없습니다. 그러면 초기에 pertubation이 발생한 직후 Δp, Δn 큰 수가 발생하지만 다시 recombination이 발생하면서 충분한 시간이 흐르면 steady-state에서는 Δp, Δn=0으로 점점 수렴해나갑니다. equillibrium 상태로 돌아가는 것이죠.

 

 이 recombination과정에 영향을 주는 요소는 크게 두 가지입니다. 트랩 state에 있는 자유전자의 수, 그리고 p값입니다. 공식으로 보면 아래와 같은데요.

                                                                                             

 

recombination에 의한 p의 변화량

 

Nt는 컨덕션 밴드와 밸런스 밴드 사이에 위치한 트랩 에너지 밴드에 채워져 있는 전자의 수 입니다. Si는 indirect하므로 트랩을 거친 R-G center recombination이 이루어지는데요, 이 트랩은 컨덕션 밴드에 가까이 있는 페르미 레벨 아래에 위치하고 있기 때문에 거의 전자로 가득 차있는 상태입니다. 이 트랩에 있는 전자의 수가 많을 수록 recombination할 확률은 당연히 높아지겠죠. 따라서 recombination rate는 이 트랩에 채워져 있는 전자의 수에 비례합니다. Cp는 capture coefficient라는 상수입니다. 그리고 식에 -가 붙은 이유는 recombination이 이루어질 수록 홀의 수는 결국 줄어들기 때문입니다.

 

 그렇다면 hole generation은 어떻게 이루어질까요? 홀이 기본적으로 생기려면 밸런스 밴드 아래에 있는 전자가 트랩으로 이동해야합니다. 하지만 아까 말씀 드렸다시피 이 트랩은 반도체에 pertubation하기 전 equillibrium상태에서도 이미 전자가 가득차있는 상태입니다. n형 도핑을 한 순간 생기는 이 트랩은 컨덕션 밴드 근처에서 형성된 페르미 레벨 아래에 위치하고 있기 때문이죠. 그래서 빈자리는 매우 희박하게 있는 상태입니다. pertubation이 일어나건 말건, 트랩에 자리가 없기 때문이죠. 따라서 pertubation 이후 generation에 의한 홀의 변화율은 pertubation 이전 equillibrium 상태에서의 generation에 의한 홀의 변화율과 같습니다. 파라미터는 오직 트랩에 있는 빈자리 수에 달려있기 때문이죠. 이말인 즉, equillibrium 상태에서는 홀이 생성되는 양과 홀과 전자가 합쳐지는 양이 같기 때문에 (equillibrium 상태에서는 Δp, Δn=0입니다.) equillibrium 상태에서의 recombination에 의해 홀이 사라지는 변화율에 -부호를 붙여준 것과 같다는 결론에 이르게됩니다. 

 

 글로 보면 헷갈릴테지만 차근 차근 생각해보면 pertubation 이후 홀의 생성률 = equillibrium 상태에서의 홀의 생성률 = -(equillibrium 상태에서의 홀이 사라지는 rate) 인 것이죠. 결국 마지막 항을 나타내는 것이 아래 공식입니다.

 

generation에 의한 홀의 변화율은 열평형 상태에서의 홀의 recombination rate에 -를 곱해준 것과 같다.

 

결국 recombination과 generation이 pertubation 이후 동시에 진행되고 있으니깐 최종적으로 R-G에 의한 홀의 변화율은 위에서 도출해낸 두 rate를 더한 값이 됩니다.

 

 

그리고 CpNt는 1/시간의 차원을 가지고 있는데 이를 타우로 치환하면 아래와 같이 식을 정리할 수 있습니다.

 

 홀도 마찬가지의 프로세스로 같은 모양의 공식을 도출해낼 수 있고, 타우는 여기서 소수 캐리어의 수명으로 볼 수 있습니다. 그래서 Δp나 Δn이 음수인 경우 변화량은 양수가 되므로 캐리어는 시간이 지남에 따라 generation되어 equillibrium상태로 수렴하게 된다고 해석할 수 있고, pertubation에 의해 Δp나 Δn이 양수가 되었다면, 변화율은 음수가

점점 캐리어가 recombination 되어 equillibrium상태로 나아간다고 해석할 수 있습니다.

 

어찌보면 당연한 자연적인 사실을 공식으로 나타내려니깐 정말 복잡하네요..ㅎㅎ 나머지 부분은 다음 포스트에서 완성시키도록 하겠습니다.